Mathematical Formulas

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自记常考数学公式

不等式

均值不等式

均方根QM: $\sqrt{\frac{x_1^2+\cdot \cdot \cdot +x_n^2}{n}}$

算术平均AM: $\frac{x_1+\cdot \cdot \cdot +x_n}{n}$

几何平均GM: $\sqrt[n]{x_1\cdot \cdot \cdot x_n}$

调和平均HM: $\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{x_n}}$

存在 均方根QM $\ge$ 算术平均AM $\ge$ 几何平均GM $\ge$ 调和平均HM

$$\sqrt{\frac{x_1^2+\cdot \cdot \cdot +x_n^2}{n}}\ge \frac{x_1+\cdot \cdot \cdot +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1\cdot \cdot \cdot x_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{x_n}}$$
当且仅当$x_1=x_2=\cdot \cdot \cdot =x_n$时 等号成立

三角函数公式

积化和差

$$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$$

$$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$$

$$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$$

$$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$$

和差化积

$$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$$

$$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$$

$$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$$

$$\cos \alpha -\cos \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$$

万能公式

只要有$\tan \frac{\alpha }{2}$ 就能求出 $\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha$

$$\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$$

$$\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$$

$$\tan \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$$

余弦定理

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

正弦定理

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

三角不等式

一般形式

$n$维向量$x=(x_1,\cdot \cdot \cdot ,x_n)y=(y_1,\cdot \cdot \cdot ,y_n)$ 因为两边之和一定大于第三边 所以成立
$||x|-|y||\le |x\pm y|\le |x|+|y|$ 当且仅当 $x||y$ (xy平行)的时候才成立
即: $$\sqrt{(x_1\pm y_1{)}^2+\cdot \cdot \cdot +(x_n\pm y_n{)}^2}\le \sqrt{x_1^2+\cdot \cdot \cdot +x_n^2}+\sqrt{y_1^2+\cdot \cdot \cdot +y_n^2}$$
$$\sqrt{(x_1\pm y_1{)}^2+\cdot \cdot \cdot +(x_n\pm y_n{)}^2}\ge |\sqrt{x_1^2+\cdot \cdot \cdot +x_n^2}-\sqrt{y_1^2+\cdot \cdot \cdot +y_n^2}|$$

1维特别形式

当$n$维向量的维数n=1时 有
$$||a|-|b||\le |a+b|\le |a|+|b|$$ 左处等号当且仅当$ab\le 0$时成立 右处等号当且仅当$ab\ge 0$时成立

$$||a|-|b||\le |a-b|\le |a|+|b|$$ 左处等号当且仅当$ab\ge 0$时成立 右处等号当且仅当$ab\le 0$时成立

基本初等函数不等式

$\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x\mathrm{\forall }x>-1$

$\sin x\le x\le \tan x$

$e^x\ge x+1$

柯西不等式

离散形式

$$(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{)}^2\le (\sum _{i=1}^n{a}_i^2)(\sum _{i=1}^n{b}_i^2)$$
当且仅当$a_i=k{b}_i$时等号成立

连续形式

$$({\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x{)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x{\int }_a^b{g}^2(x)\mathrm{d}x$$

当且仅当存在常数k使得$f(x)=kg(x)$成立

多元形式

$$({\iint }_{D}f(x,y)g(x,y)\mathrm{d}\sigma {)}^2\le ({\iint }_D{f}^2(x,y)\mathrm{d}\sigma )({\iint }_D{g}^2(x,y)\mathrm{d}\sigma )$$

切比雪夫不等式

$$\mathrm{对}\mathrm{于}{x}_1\ge x_2\ge \cdot \cdot \cdot \ge x_n\mathrm{和}{y}_1\ge y_2\ge \cdot \cdot \cdot \ge y_n\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}:$$

顺序和 $\ge$ 乱序和 $\ge$ 逆序和

$$x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdot \cdot \cdot +x_n{y}_n\ge \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdot \cdot \cdot +x_n)(y_1+y_2+\cdot \cdot \cdot +y_n)\ge x_1{y}_n+x_2{y}_{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x_n{y}_1$$

线性代数

行列式抽象计算

涉及到n阶行列式A A的逆矩阵 A的伴随矩阵
$$|AB|=|A||B|$$

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E|A||A^{\ast }|=|A{|}^n|E|$$

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}$$

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$$

n阶行列式A的特征值${\lambda }_1\dots {\lambda }_n$

$$|A|=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$$

行列式的迹 以三阶行列式为例 $a_{11}+a_{22}+a_{33}={\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3$

A B 相似 则有$P^{-1}AP=B$

$$|P^{-1}AP|=|P^{-1}||A||P|=|B|⟹AB\mathrm{相}\mathrm{似}\mathrm{则}|A|=|B|$$

可逆矩阵

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$

$$(A^2{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^2$$

$$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$$

$$(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}=(E{A}^{-1}+B^{-1}E{)}^{-1}=(B^{-1}B{A}^{-1}+B^{-1}A{A}^{-1}{)}^{-1}$$

$$=(B^{-1}(B+A)A^{-1}{)}^{-1}=A(A+B{)}^{-1}B$$

正交矩阵

$A{A}^T=A^{T}A=E$ 则称A为正交矩阵 $A^T=A^{-1}⟹|A|=1or|A|=-1$

正交矩阵的列向量必须互相垂直 且都为单位向量

A B都为正交矩阵 且$|A|+|B|=0$ 则 $|A+B|=0$