Mathematical Formulas

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自记常考数学公式

不等式

均值不等式

均方根QM: x12++xn2n

算术平均AM: x1++xnn

几何平均GM: x1xnn

调和平均HM: n1x1++1xn

存在 均方根QM 算术平均AM 几何平均GM 调和平均HM

x12++xn2nx1++xnnx1xnnn1x1++1xn
当且仅当x1=x2==xn时 等号成立

三角函数公式

积化和差

cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(αβ)]

sinαsinβ=12[cos(α+β)cos(αβ)]

sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(αβ)]

cosαsinβ=12[sin(α+β)sin(αβ)]

和差化积

sinα+sinβ=2sinα+β2cosαβ2

sinαsinβ=2cosα+β2sinαβ2

cosα+cosβ=2cosα+β2cosαβ2

cosαcosβ=2sinα+β2sinαβ2

万能公式

只要有tanα2 就能求出 sinα,cosα,tanα

sinα=2tanα21+tan2α2

cosα=1tan2α21+tan2α2

tanα=2tanα21tan2α2

余弦定理

a2=b2+c22bccosA

正弦定理

asinA=bsinB=csinC

三角不等式

一般形式

n维向量x=(x1,,xn)y=(y1,,yn) 因为两边之和一定大于第三边 所以成立
||x||y|||x±y||x|+|y| 当且仅当 x||y (xy平行)的时候才成立
即: (x1±y1)2++(xn±yn)2x12++xn2+y12++yn2
(x1±y1)2++(xn±yn)2|x12++xn2y12++yn2|

1维特别形式

n维向量的维数n=1时 有
||a||b|||a+b||a|+|b| 左处等号当且仅当ab0时成立 右处等号当且仅当ab0时成立

||a||b|||ab||a|+|b| 左处等号当且仅当ab0时成立 右处等号当且仅当ab0时成立

基本初等函数不等式

x1+xln(1+x)xx>1

sinxxtanx

exx+1

柯西不等式

离散形式

(i=1naibi)2(i=1nai2)(i=1nbi2)
当且仅当ai=kbi时等号成立

连续形式

(abf(x)g(x)dx)2abf2(x)dxabg2(x)dx

当且仅当存在常数k使得f(x)=kg(x)成立

多元形式

(Df(x,y)g(x,y)dσ)2(Df2(x,y)dσ)(Dg2(x,y)dσ)

切比雪夫不等式

x1x2xny1y2yn:

顺序和 乱序和 逆序和

x1y1+x2y2++xnyn1n(x1+x2++xn)(y1+y2++yn)x1yn+x2yn1++xny1

线性代数

行列式抽象计算

涉及到n阶行列式A A的逆矩阵 A的伴随矩阵
|AB|=|A||B|

AA=AA=|A|E|A||A|=|A|n|E|

|A|=|A|n1

A=|A|A1

|A1|=1|A|

n阶行列式A的特征值λ1λn

|A|=i=1nλi

行列式的迹 以三阶行列式为例 a11+a22+a33=λ1+λ2+λ3

A B 相似 则有P1AP=B

|P1AP|=|P1||A||P|=|B|AB|A|=|B|

可逆矩阵

(A1)1=A

(AB)1=B1A1

(A2)1=(A1)2

(kA)1=1kA1

(A1+B1)1=(EA1+B1E)1=(B1BA1+B1AA1)1

=(B1(B+A)A1)1=A(A+B)1B

正交矩阵

AAT=ATA=E 则称A为正交矩阵 AT=A1|A|=1or|A|=1

正交矩阵的列向量必须互相垂直 且都为单位向量

A B都为正交矩阵 且|A|+|B|=0|A+B|=0

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