theme/next下_config.yml中 mathjax: enable: true要开启
自记常考数学公式
不等式
均值不等式
均方根QM: $\sqrt{\cfrac{x_{1}^2+\cdot\cdot\cdot+x_{n}^2}{n}}$
算术平均AM: $\cfrac{x_1 + \cdot\cdot\cdot + x_n}{n}$
几何平均GM: $\sqrt[n]{x_1 \cdot\cdot\cdot x_n}$
调和平均HM: $\cfrac{n}{\cfrac{1}{x_1}+\cdot\cdot\cdot+\cfrac{1}{x_n}}$
存在 均方根QM $\geq$ 算术平均AM $\geq$ 几何平均GM $\geq$ 调和平均HM
$$ \sqrt{\cfrac{x_{1}^2+\cdot\cdot\cdot+x_{n}^2}{n}} \geq \cfrac{x_1 + \cdot\cdot\cdot + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot\cdot\cdot x_n} \geq \cfrac{n}{\cfrac{1}{x_1}+\cdot\cdot\cdot+\cfrac{1}{x_n}}$$
当且仅当$x_1=x_2= \cdot\cdot\cdot =x_n$时 等号成立
三角函数公式
积化和差
$$
\cos\alpha\cos\beta =\frac{1}{2} \left [ \cos(\alpha +\beta) +\cos(\alpha -\beta)\right ]
$$
$$
\sin\alpha\sin\beta =\frac{1}{2} \left [ \cos(\alpha +\beta) -\cos(\alpha -\beta)\right ]
$$
$$
\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2} \left [ \sin(\alpha +\beta) +\sin(\alpha -\beta)\right ]
$$
$$
\cos\alpha\sin\beta =\frac{1}{2} \left [ \sin(\alpha +\beta) -\sin(\alpha -\beta)\right ]
$$
和差化积
$$
\sin\alpha +\sin\beta =2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}
$$
$$
\sin\alpha -\sin\beta =2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}
$$
$$
\cos\alpha +\cos\beta =2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}
$$
$$
\cos\alpha -\cos\beta =2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}
$$
万能公式
只要有$\tan \frac{\alpha }{2} $ 就能求出 $\sin\alpha,\cos\alpha,\tan\alpha$
$$
\sin\alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+\tan^{2} \frac{\alpha }{2} }
$$
$$
\cos\alpha =\frac{1-\tan^{2} \frac{\alpha }{2}}{1+\tan^{2} \frac{\alpha }{2} }
$$
$$
\tan\alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-\tan^{2} \frac{\alpha }{2} }
$$
余弦定理
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
正弦定理
$$
\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B}= \frac{c}{\sin C}
$$
三角不等式
一般形式
$n$维向量$x=(x_1,\cdot\cdot\cdot,x_n) y=(y_1,\cdot\cdot\cdot,y_n)$ 因为两边之和一定大于第三边 所以成立
$||x|-|y|| \leq |x \pm y| \leq |x|+|y|$ 当且仅当 $x||y$ (xy平行)的时候才成立
即: $$\sqrt{(x_1 \pm y_1)^2+\cdot\cdot\cdot+(x_n \pm y_n)^2} \leq \sqrt{x_{1}^2+\cdot\cdot\cdot+x_{n}^2}+\sqrt{y_{1}^2+\cdot\cdot\cdot+y_{n}^2}$$
$$\sqrt{(x_1 \pm y_1)^2+\cdot\cdot\cdot+(x_n \pm y_n)^2} \geq |\sqrt{x_{1}^2+\cdot\cdot\cdot+x_{n}^2}-\sqrt{y_{1}^2+\cdot\cdot\cdot+y_{n}^2}|$$
1维特别形式
当$n$维向量的维数n=1时 有
$$||a|-|b|| \leq |a+b| \leq |a|+|b|$$ 左处等号当且仅当$ab \leq 0$时成立 右处等号当且仅当$ab \geq 0$时成立
$$||a|-|b|| \leq |a-b| \leq |a|+|b|$$ 左处等号当且仅当$ab \geq 0$时成立 右处等号当且仅当$ab \leq 0$时成立
基本初等函数不等式
$\cfrac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) \leq x \forall x>-1$
$\sin{x} \leq x \leq \tan{x}$
$e^x \geq x+1$
柯西不等式
离散形式
$$
(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^2 \leq (\sum_{i=1}^{n}a_i^{2})(\sum_{i=1}^{n}b_i^{2})
$$
当且仅当$a_i=kb_i$时等号成立
连续形式
$$
(\int_{a}^{b} f(x)g(x)\mathrm{d}x)^2 \leq \int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x\int_{a}^{b}g^2(x)\mathrm{d}x
$$
当且仅当存在常数k使得$f(x)=kg(x)$成立
多元形式
$$
(\iint_{D} f(x,y)g(x,y)\mathrm{d}\sigma)^2 \leq (\iint_{D} f^2(x,y)\mathrm{d}\sigma)(\iint_{D} g^2(x,y)\mathrm{d}\sigma)
$$
切比雪夫不等式
$$
对于x_1 \geq x_2 \geq \cdot\cdot\cdot \geq x_n 和 y_1 \geq y_2 \geq \cdot\cdot\cdot \geq y_n 存在不等式:
$$
顺序和 $\geq$ 乱序和 $\geq$ 逆序和
$$
x_1y_1+x_2y_2+\cdot\cdot\cdot+x_ny_n \geq \cfrac{1}{n}(x_1+x_2+\cdot\cdot\cdot+x_n)(y_1+y_2+\cdot\cdot\cdot+y_n) \geq x_1y_n+x_2y_{n-1}+\cdot\cdot\cdot+x_ny_1
$$
线性代数
行列式抽象计算
涉及到n阶行列式A A的逆矩阵 A的伴随矩阵
$$
|AB|=|A||B|
$$
$$
AA^{\ast}=A^{\ast}A=|A|E \qquad |A||A^{\ast}|=|A|^n|E|
$$
$$
|A^{\ast}|=|A|^{n-1}
$$
$$
A^{\ast}=|A|A^{-1}
$$
$$
|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}
$$
n阶行列式A的特征值$\lambda_{1} \dots \lambda_{n}$
$$
|A|=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}
$$
行列式的迹 以三阶行列式为例 $a_{11}+a_{22}+a_{33}=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}$
A B 相似 则有$P^{-1}AP=B$
$$
|P^{-1}AP|=|P^{-1}||A||P|=|B| \implies A B相似 则|A|=|B|
$$
可逆矩阵
$$
(A^{-1})^{-1}=A
$$
$$
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
$$
$$
(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2
$$
$$
(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}
$$
$$
(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=(EA^{-1}+B^{-1}E)^{-1}=(B^{-1}BA^{-1}+B^{-1}AA^{-1})^{-1}
$$
$$
=(B^{-1}(B+A)A^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B
$$
正交矩阵
$AA^T=A^TA=E$ 则称A为正交矩阵 $A^T=A^{-1} \implies |A|=1 \quad or \quad |A|=-1$
正交矩阵的列向量必须互相垂直 且都为单位向量
A B都为正交矩阵 且$|A|+|B|=0$ 则 $|A+B|=0$
